Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f(x)=

3

x

•(1+x)
（1）求f（8）與f（-8）的值．
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=8代入已知表達(dá)式即可求得f（8），由奇函數(shù)性質(zhì)可求得f（-8）；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，由已知表達(dá)式可求得f（-x），據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）與f（-x）的關(guān)系，從而可得x＜0時(shí)的f（x），再由f（-0）=-f（0）可求得f（0），綜上即可求得R上的f（x）表達(dá)式．

解答：解：（1）依題意得f（8）=

3	8

×（1+8）=18．
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-8）=-f（8）=-18．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
因?yàn)閤∈（0，+∞）時(shí)，f(x)=

3	x

•(1+x)，
所以f（-x）=

3	-x

（1-x），
因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），-f（x）=-

3	x

（1-x），f（x）=

3	x

（1-x），
又f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．
故f（x）=

3 x (1+x)，x＞0 0，x=0 3 x (1-x)，x＜0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、函數(shù)解析式的求解及函數(shù)求值，屬基礎(chǔ)題，定義是解決函數(shù)奇偶性的基本方法．