【題目】已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)F(0,﹣1),且與直線y=1相切;橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,F(xiàn)是其一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)(0,2)在橢圓N上.
(1)求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程和橢圓N的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(0,﹣4)作直線l交軌跡M于A,B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,射線OA,OB交橢圓N于C,D兩點(diǎn),求△OCD面積的最小值.
(3)附加題:過(guò)橢圓N上一動(dòng)點(diǎn)P作圓x2+(y﹣1)2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為G,H,求 的取值范圍.

【答案】
(1)解:依題意,由拋物線的定義易得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡M的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=﹣4y,

依題意可設(shè)橢圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(a>b>0),

顯然有c=1,a=2∴b= ,

∴橢圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ;

軌跡


(2)解:

所以x1x2+y1y2=0OA⊥OB

設(shè) ,

所以 ,

同理可得:

所以 ,

令t=1+k2(t≥1), ,

所以當(dāng)


(3)解:設(shè)∠GPH=2α,圓x2+(y﹣1)2=1的圓心為E,如圖:

當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時(shí)PE最小為1,在橢圓下頂點(diǎn)時(shí),|PE|的最大值為3,PE∈[1,3],

PEcosα=PG,sinα=

= = ,當(dāng)且僅當(dāng)|PE|= 時(shí)取等號(hào).

因?yàn)閨PE|∈[1,3],所以


【解析】(1)由拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡M的標(biāo)準(zhǔn)方程,由題意可得c=1,a=2,求得b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)顯然直線m的斜率存在,不妨設(shè)直線m的直線方程為:y=kx﹣4,分別代入拋物線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,以及點(diǎn)到直線的距離公式,求得三角形的面積,再由不等式的性質(zhì),即可得到所求最小值.(3)設(shè)∠EPF=2α,求出 表達(dá)式,利用 的范圍,求解表達(dá)式的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
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【題目】定義在上的函數(shù),若,有,則稱函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單增函數(shù);若,有,則稱函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單減函數(shù). .

(1)若函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)若函數(shù)為定義在上的非嚴(yán)格單減函數(shù),試解不等式.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A為橢圓C上的左頂點(diǎn),直線∫過(guò)右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1 , k2滿足k1+
k2=﹣ ,求直線MN的方程.

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外賣份數(shù)(份)

2

4

5

6

8

收入(元)

30

40

60

50

70

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;

(2)求回歸直線方程;

(3)據(jù)此估計(jì)外賣份數(shù)為12份時(shí),收入為多少元.

注:①參考公式:線性回歸方程系數(shù)公式, ;

②參考數(shù)據(jù): ,

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