Question

10．某高校通過(guò)調(diào)查在發(fā)現(xiàn)該校畢業(yè)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與就業(yè)情況具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)對(duì)5名畢業(yè)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，他們的專業(yè)課成績(jī)x_i及現(xiàn)在的工作年薪y(tǒng)_i情況如下：

專業(yè)課成績(jī)xi（分）	7	7	8	9	9
年薪y(tǒng)i（萬(wàn)元）	10	12	14	14	15

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算專業(yè)課成績(jī)與年薪的線性相關(guān)系數(shù)；
（2）求出專業(yè)課成績(jī)與年薪關(guān)系的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)專業(yè)課成績(jī)?yōu)?.6分的學(xué)生畢業(yè)后的年薪；
（3）若再?gòu)倪@5名畢業(yè)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求恰有一名畢業(yè)生的專業(yè)課成績(jī)不少于9分的概率．附：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}•\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}-n{\overline{y}}^{2}}}$，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，利用公式求出線性相關(guān)系數(shù)r；
（2）求出線性回歸方程，利用回歸方程計(jì)算x=9.6時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）利用基本事件數(shù)的比求古典概型的概率值即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（7+7+8+9+9）=8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（10+12+14+14+15）=13，
$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_iy_i-5$\overline{x}$$\overline{y}$=（7×10+7×12+8×14+9×14+9×15）-5×8×13=7，
$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$${{x}_{i}}^{2}$-5${\overline{x}}^{2}$=（7²+7²+8²+9²+9²）-5×8²=4，
$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$${{y}_{i}}^{2}$-5${\overline{y}}^{2}$=（10²+12²+14²+14²+15²）-5×13²=16；
所以專業(yè)課成績(jī)與年薪的線性相關(guān)系數(shù)為：
r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}•\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}-n{\overline{y}}^{2}}}$=$\frac{7}{\sqrt{4}×\sqrt{16}}$=$\frac{7}{8}$；
（2）設(shè)專業(yè)課成績(jī)與年薪關(guān)系的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，
則b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{7}{4}$=1.75，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=13-1.75×8=-1，
回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.75x-1；
當(dāng)x=9.6時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=1.75×9.6-1=15.8，
所以預(yù)測(cè)專業(yè)課成績(jī)?yōu)?.6分的學(xué)生畢業(yè)后的年薪15.8萬(wàn)元；
（3）再?gòu)倪@5名畢業(yè)生中隨機(jī)抽取2名，共有${C}_{5}^{2}$=10種選法，
其中恰有一名畢業(yè)生的專業(yè)課成績(jī)不少于9分有${C}_{3}^{1}$•${C}_{2}^{1}$=6種情形，
故所求的概率為P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相關(guān)系數(shù)和線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．