Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=

1

2

，過點(diǎn)F的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，MN的中垂線交y軸于點(diǎn)P，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．當(dāng)MN⊥x軸時，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0．當(dāng)MN與x軸不垂直時，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．由已知推導(dǎo)出點(diǎn)P縱坐標(biāo)y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k

+4k．由此能求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓C的半焦距是c．依題意，得c=1．
因?yàn)闄E圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=2，b²=a²-c²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
當(dāng)MN⊥x軸時，顯然y₀=0．
當(dāng)MN與x軸不垂直時，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為Q（x₃，y₃），
則 x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．
所以x₃=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y₃=k（x₃-1）=

-3k

3+4k2

．
線段MN的垂直平分線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
在上述方程中令x=0，得y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k

+4k．
當(dāng)k＜0時，

3

k

+4k≤-4

3

；
當(dāng)k＞0時，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y₀＜0，或0＜y₀≤

3

12

．
綜上：y₀的取值范圍是[-

3

12

，

3

12

]．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．