【題目】已知函數(shù)f(x)= (e是自然對數(shù)的底數(shù)),h(x)=1﹣x﹣xlnx.
(1)求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數(shù),證明:對任意x>0,g(x)<1+e﹣2 .
【答案】
(1)解:f(x)= 的導數(shù)為 = ,
可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線斜率為0,
切點為(1, ),可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y=
(2)解:h(x)=1﹣x﹣xlnx求導數(shù)得h′(x)=﹣1﹣(1+lnx),x∈(0,+∞),
令h′(x)=﹣2﹣lnx=0,x∈(0,+∞),可得x=e﹣2,
當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0;當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0.
因此h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e﹣2),單調(diào)遞減區(qū)間為(e﹣2,+∞)
(3)證明:因為g(x)=xf′(x).
所以g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).
由h(x)=1﹣x﹣xlnx,
求導得h′(x)=﹣lnx﹣2=﹣(lnx﹣lne﹣2),
所以當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.
所以當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.
又當x∈(0,+∞)時,0< <1,
所以當x∈(0,+∞)時, h(x)<1+e﹣2,即g(x)<1+e﹣2.
綜上所述,對任意x>0,g(x)<1+e﹣2
【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),可得切線的斜率和切點,即可得到所求切線的方程;(2)求導數(shù),利用導數(shù)的正負,求h(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,確定當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.當x∈(0,+∞)時,0< <1,即可證明結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校100名學生的數(shù)學測試成績的頻率分布直方圖如圖所示,分數(shù)不低于a即為優(yōu)秀,如果優(yōu)秀的人數(shù)為20,則a的估計值是( )
A. 130 B. 140 C. 133 D. 137
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在山頂點已測得,,的俯角分別為,,,其中,,為山腳兩側(cè)共線的三點,現(xiàn)欲沿直線開通穿山隧道,為了求出隧道的長,至少還需要直接測量出,,中的哪些線段長?把你上一問指出的需要測量得線段長和已測得的角度作為已知量,寫出計算隧道的步驟.
解:
步驟:還需要直接測量得線段為.
步驟:計算線段.
計算步驟:
步驟:計算線段
計算步驟:
步驟:計算線段
計算步驟:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定:每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會,一量某次考試通過,便可領(lǐng)取駕照,不再參加以后的考試,否則就一直考到第4次為止如果李明決定參加駕照考試,設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一所內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;
(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓練成績作出評價.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求直方圖中x的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一容量為50的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下:
[12.5,15.5),3;[15.5,18.5),8;[18.5,21.5),9;[21.5,24.5),11;[24.5,27.5),10;[27.5,30.5),5;[30.5,33.5],4.
(1)列出樣本的頻率分布表.
(2)畫出頻率分布直方圖.
(3)根據(jù)頻率分布表,估計數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的可能性約是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間月)的關(guān)系有以下敘述:
①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;
②第5個月時,浮萍的面積就會超過
③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1.5個月;
④浮萍每個月增加的面積都相等;
⑤若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時間分別為則.其中正確的是
A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
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