Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，且這兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；

（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與線(xiàn)段為直徑的圓相切，切點(diǎn)為，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由定義可得，設(shè)切線(xiàn)的方程為，代入，得，由得，分類(lèi)討論即可求出答案；

（2）由（1）可得點(diǎn)以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為正數(shù)，由可求得，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程并整理得，設(shè)，，利用韋達(dá)定理即可求出答案．

解：（1）∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，

∴，故拋物線(xiàn)的方程為，

設(shè)切線(xiàn)的方程為，

代入，得，

由得，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，

當(dāng)時(shí)，同理可得，

綜上可得；

（2）由（1）知，，，

∴以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為正數(shù)，

∵為直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)，

∴，，∴，

∴，，

∴直線(xiàn)的方程為，

由，整理得，

∵，∴，

設(shè)，，則，，

∴，

∵，∴，

∴，

∴．