Question

2．設(shè)A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，其中x∈R．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求A∪B，A∩B；
（2）若A∩B=B且B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x²+4x=0，解出可得A={-4，0}．a(chǎn)=-2時(shí)，x²+2（a+1）x+a²-1=0化為：x²-2x+3=0，由△＜0，可得B=∅．利用集合運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）由B≠∅，A∩B=B．可得B={0}，{-4}，或{0，-4}．分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：（1）由x²+4x=0，解得x=0或-4，
∴A={-4，0}．
a=-2時(shí)，x²+2（a+1）x+a²-1=0化為：x²-2x+3=0，△=4-12＜0，此方程無(wú)解，
∴B=∅．
∴A∪B=A={-4，0}，A∩B=∅．
（2）∵B≠∅，A∩B=B．
∴B={0}，{-4}，或{0，-4}．
若B={0}，則a²-1=0，解得a=±1．若a=1，B={x|x²+4x=0}={0，-4}，舍去；若a=-1，B={0}，滿(mǎn)足條件；
若B={-4}，則16-8（a+1）+a²-1=0，解得a=1或7．若a=1，B={x|x²+4x=0}={0，-4}，舍去；若a=7，B={-4，-12}，滿(mǎn)足條件；
若B={0，-4}，由上面可知：a=1滿(mǎn)足條件．
綜上可得：a∈{-1，1，7}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、方程的解法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．