Question

（2012•�？谀�擬）選修4-4坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中，取原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₁的極坐標方程為：ρ=2cosθ，直線C₂的參數(shù)方程為：

x=1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t為參數(shù)）
（I ）求曲線C₁的直角坐標方程，曲線C₂的普通方程．
（II）先將曲線C₁上所有的點向左平移1個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的

3

倍得到曲線C₃，P為曲線C₃上一動點，求點P到直線C₂的距離的最小值，并求出相應的P點的坐標．

Answer 1

分析：（I） 利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得C₁為直角坐標方程；消去參數(shù)t得曲線C₂的普通方程
（II）曲線C₃上的方程為

x2

3

+y2=1，設點P（

3

cosθ，sinθ），點P到直線的距離為d=

| 3 cosθ-sinθ+4|

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+4|

2

，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（I ）C₁的極坐標方程為：ρ=2cosθ，即：ρ²=2ρcosθ，
化為直角坐標方程為x²+y²=2x，即為（x-1）²+y²=1
直線C₂的參數(shù)方程為：

x=1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
消去t得普通方程為x-y+4=0
（II）曲線C₃上的方程為

x2

3

+y2=1
設點P（

3

cosθ，sinθ），點P到直線的距離為d=

| 3 cosθ-sinθ+4|

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+4|

2

由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當θ+

π

6

=π是，d取得最小值

2

，此時θ=

5π

6

，
所以P點的坐標為（-

3

2

，

1

2

）

點評：本題考查了極坐標和直角坐標的互化及參數(shù)方程與普通方程的互化，能在直角坐標系中利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，屬于基礎題．