【題目】已知函數(shù)f(x)=lnxx2,g(x)x2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整數(shù)m的最小值;
(Ⅲ)若m=﹣1,且正實(shí)數(shù)x1,x2滿足F(x1)=﹣F(x2),求證:x1+x21.
【答案】(Ⅰ)(0,1);(Ⅱ)2;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(I)先求得函數(shù)的定義域,然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.(II)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,這個最大值恒為非負(fù)數(shù),由此求得整數(shù)的最小值.(III)當(dāng)時,,化簡,利用構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求其最小值,證得
解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋簕x|x>0},
f′(x)x,(x>0),
由f′(x)>0,得:0<x<1,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).
(Ⅱ)F(x)=f(x)+g(x)=lnxmx2+x,x>0,
令G(x)=F(x)﹣(mx﹣1)=lnxmx2+(1﹣m)x+1,
則不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,即G(x)≤0恒成立.
G′(x)mx+(1﹣m),
①當(dāng)m≤0時,因?yàn)閤>0,所以G′(x)>0
所以G(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
又因?yàn)镚(1)=ln1m×12+(1﹣m)+1m+2>0,
所以關(guān)于x的不等式G(x)≤0不能恒成立,
②當(dāng)m>0時,G′(x),
令G′(x)=0,因?yàn)閤>0,得x,
所以當(dāng)x∈(0,)時,G′(x)>0;當(dāng)x∈(,+∞)時,G′(x)<0,
因此函數(shù)G(x)在x∈(0,)是增函數(shù),在x∈(,+∞)是減函數(shù),
故函數(shù)G(x)的最大值為:
G()=lnm(1﹣m)1lnm,
令h(m)lnm,因?yàn)閔(m)在m∈(0,+∞)上是減函數(shù),
又因?yàn)閔(1)0,h(2)ln2<0,所以當(dāng)m≥2時,h(m)<0,
所以整數(shù)m的最小值為2.
(Ⅲ)m=﹣1時,F(xiàn)(x)=lnxx2+x,x>0,
由F(x1)=﹣F(x2),得F(x1)+F(x2)=0,即lnx1x1+lnx2x2=0,
整理得:(x1+x2)=x1 x2﹣ln(x1 x2),
令t=x1x2>0,則由φ(t)=t﹣lnt,得:φ′(t),
可知φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以φ(t)≥φ(1)=1,
所以(x1+x2)≥1,解得:x1+x21,或x1+x21,
因?yàn)閤1,x2為正整數(shù),所以:x1+x21成立.
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(1)算出第三組的頻數(shù).并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)請根據(jù)頻率分布直方圖,估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
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(Ⅱ)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn), 為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線交橢圓于,記分別為點(diǎn)和到直線的距離,證明.
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(1)從乙村的50戶中隨機(jī)選出一戶,求該戶為“絕對貧困戶”的概率;
(2)從甲村所有“今年不能脫貧的非絕對貧困戶”中任選2戶,求選出的2戶均為“低收入戶”的概率;
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