Question

稱(chēng)一個(gè)函數(shù)是“好函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)其滿(mǎn)足：（1）定義在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，b）上單調(diào)遞減．則以下函數(shù)中不是好函數(shù)的是（ ）
A．y=x|x-2|
B．y=x³-x+1
C．y=2x³-3x²-6x-1
D．y=7x⁴+28x+38

Answer 1

【答案】分析：選項(xiàng)A，可討論x去絕對(duì)值，然后根據(jù)二次函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，選項(xiàng)B、C、D都是多項(xiàng)式函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)“好函數(shù)”的定義進(jìn)行判定即可．
解答：解：選項(xiàng)A，定義域?yàn)镽，y=x|x-2|=
∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足好函數(shù)的定義；
選項(xiàng)B，y=x³-x+1定義域?yàn)镽，則y′=3x²-1＜0解得x∈（-，），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-）∪（，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-）、（，+∞）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足好函數(shù)的定義；
選項(xiàng)C，y=2x³-3x²-6x-1定義域?yàn)镽，則y′=6x²-6x-6＜0解得x∈（，），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，）∪（，+∞），
∴y=2x³-3x²-6x-1在（-∞，）、（，+∞）上單調(diào)遞增，
在（，）上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足好函數(shù)的定義；
選項(xiàng)D，y=7x⁴+28x+38定義域?yàn)镽，則y'=28x³+28＜0解得x＜-1，y'=28x³+28＞0解得x＞-1
∴y=7x⁴+28x+38在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足好函數(shù)的定義；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及絕對(duì)值函數(shù)的處理方法和新定義，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．