Question

為了對(duì)2007年佛山市中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若規(guī)定85分（包括85分）以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表：

用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；
（3）求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=85，

.

z

=81，

8

i=1

(xi-

.

x

 )2≈1050，

8

i=1

(yi-

.

y

 )2≈456，

8

i=1

(zi-

.

z

 )2≈550，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(yi-

.

y

 )≈688，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(zi-

.

z

 )≈755，

8

i=1

(yi-

?

y

i)2≈7，

8

i=1

(zi-

?

z

i)2≈94，

1050

≈32.4，

456

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

分析：本題考查組合及運(yùn)算、概率、相關(guān)系數(shù)的運(yùn)算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識(shí)和方法．
（1）先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是A₅⁵．則恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的選取種數(shù)為C₄³A₃³A₅⁵，問(wèn)題得解；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以及相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算可得物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)系數(shù)，其相關(guān)程度易見(jiàn)；
（3）根據(jù)最小二乘法計(jì)算可得回歸方程

y

=b

x

+a中的b和a，回歸直線方程即得，通過(guò)相關(guān)指數(shù)R²的計(jì)算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（1）這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀，
則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，
種數(shù)是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，
種數(shù)是A₅⁵．根據(jù)乘法原理，滿(mǎn)足條件的種數(shù)是C₄³A₃³A₅⁵． （2分）
這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有A₈⁸． （5分）
故所求的概率P=

C 3 4 A 3 3 A 5 5

A 8 8

=

1

14

． （4分）

（2）變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是r=

688

32.4×21.4

≈0.99、r′=

755

32.4×23.5

≈0.99．
可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正相關(guān)．（6分）

（3）設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是

?

y

=bx+a、

?

z

=b′x+a′．
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出b=

688

1050

=0.65，a=85-0.65*77.5=34.63，b′=

755

1050

=0.72，a′=81-0.72*77.5=25.20．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是

?

y

=0.65x+34.63、

?

z

=0.72x+25.20．（11分）
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是R2=1-

7

456

≈0.98、R′2=1-

94

550

≈0.83． （11分）
故回歸模型

?

y

=0.65x+34.63比回歸模型

?

z

=0.72x+25.20的擬合的效果好．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，所用知識(shí)、方法眾多，將回歸分析的相關(guān)知識(shí)的考查發(fā)揮到了極值，盡管已知中提供了大量的數(shù)據(jù)，但計(jì)算量仍然很大，如相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的計(jì)算、最小二乘法的使用等等，這會(huì)使計(jì)算過(guò)程容易出錯(cuò)；
就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．