Question

設非空集合{x|a≤x≤b}滿足：當x∈S時，有x²∈S，給出如下三個命題：①若a=1，則S={1}②若a=-

1

2

，則

1

4

≤b≤1；③若b=

1

2

，則-

2

2

≤a≤0．其中正確命題是

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：集合

分析：根據題中條件：“當x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①a=1，得

b2≤b b≥1

，②a=-

1

2

，則

b2≤b 1 4 ≤b

；對于③若b=

1

2

，則

1 2 ≥b 1 2 ≥b2

，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．

解答： 解：由定義設非空集合S={x|a≤x≤b}滿足：當x∈S時，有x²∈S知，符合定義的參數a的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證a∈S時，有a²∈S即a²≥b，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證b∈S時，有b²∈S即b²≤b，正對各個命題進行判斷：
對于①a=1，a²=1∈S故必有

b2≤b b≥1

，可得b=1，S={1}，
②a=-

1

2

，a2=

1

4

∈S，則

b2≤b 1 4 ≤b

，解之可得

1

4

≤b≤1；
對于③若b=

1

2

，則

1 2 ≥a a2≥a 1 2 ≥a2

，解之可得-

2

2

≤a≤0，
所以正確命題有3個．
故答案為：①②③．

點評：本題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創(chuàng)新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決，是中檔題．