Question

如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點F₁、F₂在x軸上,長軸A₁A₂的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M,|MA₁|∶|A₁F₁|=2∶1.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線l₁:x=m(|m|＞1),P為l₁上的動點,使∠F₁PF₂最大的點P記為Q,求點Q的坐標(biāo)(用m表示).

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0),半焦距為c,則|MA₁|=-a,|A₁F₁|=a-c,

    由題意,得

∴a=2,b=,c=1.

    故橢圓方程為+=1.

(2)設(shè)P(m,y₀),|m|＞1,

    當(dāng)y₀=0時,∠P₁PF₂=0,

    當(dāng)y₀≠0時,0＜∠F₁PF₂＜∠PF₁M＜,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

    設(shè)直線PF₁的斜率為k₁,則k₁=;

    設(shè)直線PF₂的斜率為k₂,則k₂=,

∴tan∠F₁PF₂=||=

≤=.

    當(dāng)且僅當(dāng)=|y₀|時,∠F₁PF₂最大,∴Q(m,±),|m|＞1.