【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,求的最小值.

(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)

(i)求實數(shù)的取值范圍;

(ii)求證:.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i);(ii)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)求出,列表討論的單調(diào)性,問題得解。

(Ⅱ)(i)由在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個零點(diǎn),即有兩個零點(diǎn),求出,討論的單調(diào)性,問題得解。

(ii)由,將轉(zhuǎn)化成,由得單調(diào)性可得,討論的單調(diào)性即可得證。

解:(Ⅰ)當(dāng)時,,,令,得.

的單調(diào)性如下表:

-

0

+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

易知.

(Ⅱ)(i).令,則.

,得.

的單調(diào)性如下表:

-

0

+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn),即在區(qū)間上有兩個零點(diǎn),

結(jié)合的單調(diào)性可知,,即.

所以,即的取值范圍是.

(ii)由(i)知,所以.

,,結(jié)合的單調(diào)性可知,.

,則.當(dāng)時,,,

所以上單調(diào)遞增,而,

因此.

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