Question

12．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，長為1的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN中點(diǎn)P的軌跡的面積為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{16}$
• C． $\frac{π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分．

解答 解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得：
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于$\frac{1}{2}$．
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為$\frac{1}{2}$的球的$\frac{1}{8}$球面．
所以MN中點(diǎn)P的軌跡的面積為$\frac{π}{8}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計(jì)算公式．