Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e²（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，再利用數(shù)列的求和方法來(lái)求函數(shù)f（x）的各極大值之和即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）遞減，
故當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤2013π，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和
S₁₀₀₇=f（π）+f（3π）+…+f（2013π）=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2013π=

eπ(1-e2014π)

1-e2π

故答案為

eπ(1-e2014π)

1-e2π

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列的求和．利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．