【題目】已知函數(shù)，.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；

（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

（1），，

，當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.

，，，，.

所以，函數(shù)在與不存在零點，在區(qū)間和上各存在一個零點.

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為；

（2），.

由（1）得，在區(qū)間與上存在零點，

所以，函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個極值點、，且，，

且滿足即，，

，

又，即，，

，，，

由在上單調(diào)遞增，得，

再由在上單調(diào)遞減，得

，即.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，平面，且，且，分別為的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

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【題目】設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組，若z＝ax+y的最大值為1，則a＝（ ）

A.B.C.﹣2D.2

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（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產(chǎn)品，求其中恰有1件不合格產(chǎn)品的概率；

（Ⅱ）若每批次各生產(chǎn)1000件，已知每件產(chǎn)品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產(chǎn)品檢驗，則每件產(chǎn)品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產(chǎn)的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據(jù)，分析是否要對每個批次的所有產(chǎn)品作檢測？

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，左頂點為，且，是橢圓上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線別與軸交于點，求證：在軸上存在點，使得無論非零實數(shù)怎樣變化，以 為直徑的圓都必過點，并求出點的坐標(biāo)．

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【題目】已知橢圓以拋物線的焦點為頂點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點，與直線相交于點，是橢圓上一點且滿足（其中為坐標(biāo)原點），試問在軸上是否存在一點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PA＝l，AB＝AC＝2，點D滿足，.

（1）當(dāng)，求二面角P－BD－C的余弦值；

（2）若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為，求的值.

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【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知F為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，其中A在x軸上方，O是坐標(biāo)原點，若，，則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____．

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