Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）經過點 ，離心率為 ，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓C上一動點，點A（3，0）與點P的垂直平分線交y軸于點B，求|OB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）離心率為 ，∴ ，故 ，
橢圓C為 ，
把點 代入得a2=6，b2=2，
所以橢圓C的方程為 =1．
（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設點P（x0 ， y0）（y0≠0），
則線段AP的中點D的坐標為 ，且直線AP的斜率kAP= ，…（7分）
由點A（3，0）關于直線l的對稱點為P，得直線l⊥AP，
故直線l的斜率為﹣ = ，且過點D，
所以直線l的方程為： = ，
令x=0，得y= ，則B ，
由 =1，得 =6﹣3 ，化簡，得B ．
所以|OB|= =|y0|+ ≥2 = ．
當且僅當|y0|= ，即y0= ∈ 時等號成立．
所以|OB|的最小值為 ．
【解析】（Ⅰ）離心率為 ，可得 ，故 ，橢圓C為 ，把點 代入橢圓方程，解出即可得出．（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設點P（x0 ， y0）（y0≠0），利用中點坐標公式可得：線段AP的中點D坐標，由點A（3，0）關于直線l的對稱點為P，得直線l⊥AP，可得直線l的斜率為﹣ = ，利用直線l的方程可得B，又 =1，得 =6﹣3 ，可得|OB|，利用基本不等式的性質即可得出．