分析 (1)正整數(shù)列{an},{bn}滿足:a1≥b1,且對一切k≥2,k∈N*,ak是ak-1與bk-1的等差中項,bk是ak-1與bk-1的等比中項.可得2ak=ak-1+bk-1,bk2=ak-1bk-1,對k取值即可得出.
(2){an}是等差數(shù)列,2ak=ak-1+bk-1,2ak=ak-1+ak+1,可得bk-1=ak+1,bk=ak+2,bk2=ak-1bk-1,ak+22=ak-1ak+1,k=2時,a42=a1a3,(a1+3d)2=a1(a1+2d),可得d=0.即可證明.
(3)對一切k≥2,k∈N*,ak是ak-1與bk-1的等差中項,bk是ak-1與bk-1的等比中項.2an=an-1+bn-1,bn2=an-1bn-1,利用基本不等式的性質(zhì)可得an=$\frac{{a}_{n-1}+_{n-1}}{2}$$≥\sqrt{{a}_{n-1}_{n-1}}$=$\sqrt{_{n}^{2}}$=bn,cn=|an-bn|=an-bn.可得an+1-bn+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{2}$-$\sqrt{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{2}({a}_{n}+_{n}-2\sqrt{{a}_{n}_{n}})$≤$\frac{1}{2}$(an+bn-2bn)=$\frac{1}{2}({a}_{n}-_{n})$,即${c}_{n+1}≤\frac{1}{2}{c}_{n}$.利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 解:(1)正整數(shù)列{an},{bn}滿足:a1≥b1,且對一切k≥2,k∈N*,
ak是ak-1與bk-1的等差中項,bk是ak-1與bk-1的等比中項.
∴2ak=ak-1+bk-1,bk2=ak-1bk-1,
a2=2,b2=1,可得4=a1+b1,1=a1b1,
解得a1=2+$\sqrt{3}$,b1=2-$\sqrt{3}$.
(2)證明:{an}是等差數(shù)列,2ak=ak-1+bk-1,2ak=ak-1+ak+1,可得bk-1=ak+1,
則bk=ak+2,∵bk2=ak-1bk-1,
∴ak+22=ak-1ak+1,k=2時,a42=a1a3,(a1+3d)2=a1(a1+2d),
6a1d+9d2=2a1d,即d(4a1+9d)=0,正整數(shù)列{an},可知d≥0,4a1+9d>0,∴d=0.
∴數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列.
{an}是等差數(shù)列的充要條件是{an}為常數(shù)數(shù)列.
(3)對一切k≥2,k∈N*,ak是ak-1與bk-1的等差中項,bk是ak-1與bk-1的等比中項.
2an=an-1+bn-1,bn2=an-1bn-1,
∴an=$\frac{{a}_{n-1}+_{n-1}}{2}$$≥\sqrt{{a}_{n-1}_{n-1}}$=$\sqrt{_{n}^{2}}$=bn,
又已知a1≥b1,
∴cn=|an-bn|=an-bn.
∴an+1-bn+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{2}$-$\sqrt{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{2}({a}_{n}+_{n}-2\sqrt{{a}_{n}_{n}})$≤$\frac{1}{2}$(an+bn-2bn)=$\frac{1}{2}({a}_{n}-_{n})$,
即${c}_{n+1}≤\frac{1}{2}{c}_{n}$.
∴${c}_{n}≤\frac{1}{2}{c}_{n-1}$$≤\frac{1}{{2}^{2}}{c}_{n-2}$≤…≤$\frac{1}{{2}^{n-1}}{c}_{1}$,
∴c2+…+cn≤$\frac{1}{2}{c}_{1}+\frac{1}{{2}^{2}}{c}_{1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}{c}_{1}$=$(1-\frac{1}{{2}^{n-1}}){c}_{1}$≤c1.
∴當(dāng)n≥2(n∈N*)時,c2+…+cn≤c1.
點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、基本不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -6 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $(-∞,\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$ | B. | $[\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8,+∞)$ | C. | $[\sqrt{2},e)$ | D. | $(-\frac{{\sqrt{3}}}{3},\frac{e}{2}]$ |
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