Question

5．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（1）=3，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜2x+1，則不等式f（3x）≥9x²+3x+1的解集為（-∞，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 先由f'（x）＜2x+1，知函數(shù)g（x）=f（x）-（x²+x）為R上的減函數(shù)，再將f（1）=3化為g（1）=1，將所解不等式化為g（3x）≥g（1），最后利用單調(diào)性解不等式即可

解答 解：∵f′（x）＜2x+1，
∴f′（x）-（2x+1）＜0，
即[f（x）-（x²+x）]′＜0
設(shè)g（x）=f（x）-（x²+x）
則g（x）在R上為減函數(shù)，
∵f（1）=3，
∴g（1）=f（1）-（1²+1）=3-2=1
∵f（3x）≥9x²+3x+1=（3x）²+3x+1，
∴f（3x）-[（3x）²+3x]≥1，
∴g（3x）≥1=g（1）
∴3x≤1，
解得x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{3}$]
故答案：（-∞，$\frac{1}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．