Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，則下列命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱；
②關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是k∈（0，1）；
③關(guān)于x的方程f（x）=g（x）恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈[0，1]；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）；
其中正確的例題有

 

（寫(xiě)出所有正確例題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：畫(huà)出函數(shù)f（x）=-2|2|x|-1|+1的圖象，利用圖象法可判斷①和②，分析指定區(qū)間上f（x）與g（x）的值域，進(jìn)而將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題后，可判斷③和④

解答： 解：因?yàn)閒（x）=-2|2|x|-1|+1為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，故①正確；
作出f（x）=-2|2|x|-1|+1如圖所示，可知，關(guān)于x的方程f（x）-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件為k∈（-1，1），故②錯(cuò)誤；
在同一坐標(biāo)系中作出f（x）=-2|2|x|-1|+1和y=x²-2|x|的圖象，由圖象可知當(dāng)m∈(-1，

7

4

)時(shí)方程f（x）=g（x）恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)；
由題可知，只需當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)f（x）_min＜g（x）_max即可．易得f（x）_min=-1，g（x）_max=m，所以m∈（-1，+∞），所以④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，充要條件的判斷，函數(shù)的最值以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，是中檔題．