Question

設(shè)函數(shù)f ( x ) =  (a ??N*), 又存在非零自然數(shù)m, 使得f (m ) = m ,

f (– m ) < –成立.

(1) 求函數(shù)f ( x )的表達(dá)式;

(2) 設(shè){a_n}是各項(xiàng)非零的數(shù)列, 若對(duì)任意n??N*成立, 求數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式;

在(2)的條件下, 數(shù)列{a_n}是否惟一確定? 請(qǐng)給出判斷, 并予以證明.  

Answer 1

（1）f ( x ) =  ( x ?? 1).

（2）   a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .

（3）滿足條件的數(shù)列不惟一.

解析:

(1) 由, 得               

由(1)得 m = ,

當(dāng)a = 2時(shí), m = 2, 滿足(2)式;

當(dāng)a = 3時(shí), m = 1, 不滿足(2)式, 舍去. 得f ( x ) =  ( x ?? 1).        

(2) 由條件得

∴ a_n(1 – a_n) = 2S_n    (3)  ,                                              

令n = 1,得 a₁ = –1, 

又a_{n – 1} (1 – a_{n – 1} ) = 2S _{n – 1} ,    ∴( a_n + a _{n – 1} )( a_n + 1 – a _{n – 1} )= 0,

由a_n – a _{n – 1} = – 1 , a₁ = –1,得{a_n}是首項(xiàng)為– 1, 公差為– 1的等差數(shù)列,

∴ a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .                                           

(3) 由(2)知,滿足條件的數(shù)列不惟一.

   考慮到a₁ ?? 1, 由 a_n = – a _{n – 1} 及a_n – a _{n – 1} = – 1和a₁ = –1,

構(gòu)造數(shù)列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }.                          

用數(shù)學(xué)歸納法證明,該數(shù)列滿足(3)式,

當(dāng)n = 1, 2, 3, 4, 5時(shí),直接代入可得(3)式成立,

假設(shè)n = k ( k ?? 5)時(shí),(3)成立, 則n = k + 1時(shí),

S_k+1 =S _k + a _k+1 = a_k(1 – a_k) + a _{k + 1} = (–a _{k +1})(1 + a_k+1) + a _{k + 1} =a_k+1(1 – a _k+1).

  所以n = k + 1時(shí)(3)式成立, 即該數(shù)列滿足題設(shè)條件.

  得滿足條件的數(shù)列不惟一.     

構(gòu)造數(shù)列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) ^{n – 1} 2 , … }( n > 1 )

{ –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.