【題目】已知函數(shù)f(x)ln(x1) (aR)

(1)a1時,求函數(shù)f(x)在點(0f(0))處的切線方程;

(2)討論函數(shù)f(x)的極值;

(3)求證:ln(n1)> (nN*)

【答案】1y2x2)見解析(3)見解析

【解析】

1)求導計算得切線斜率,進而由點斜式求切線即可;

2)由,令,得x=-a1,討論-a1和定義域的關(guān)系求極值即可;

3)當a=-1時,由(2)知,,令x (nN*),,從而得證.

(1)解 當a1時,f(x)ln(x1),

所以,

所以,

f(0)0

所以函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y2x.

(2)解 

(x>1)

x1a0,得x=-a1.

若-a1≤1,即a≥0,

>0恒成立,此時f(x)無極值.

若-a1>1,即a<0,

當-1<x<a1時,f′(x)<0

x>a1時,f′(x)>0,

此時f(x)x=-a1處取得極小值,

極小值為ln(a)a1.

(3)證明 當a=-1時,由(2)知,f(x)minf(0)0,

所以ln(x1)≥0,即ln(x1)≥.

x (nN*),

ln,

所以ln.

又因為>0,

所以>,

所以ln>

所以lnlnlnln>,

ln(n1)>.

練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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