Question

16．如圖所示，BC 為⊙O 的直徑，$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，以點 A 為切點的切線與 CD 的延長線交于點E 
（1）∠AED 是否等于90°？為什么？
（2）若 AD=2$\sqrt{5}$，ED：EA=1：2，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求∠CAD  的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明△AED∽△CAB，可得結(jié)論；
（2）由題意知AB=AD=2$\sqrt{5}$，△EAD∽△ACB，即可求⊙O的半徑；
（3）過 D作 DF⊥AC 于 F，在（2）的條件下，利用△CDF∽△CBA，即可求∠CAD  的正弦值．

解答 解：（1）∠AED=90°．理由如下：
連接 AB，由BC為直徑，得∠BAC=90°．
又 AE切 圓O 于 A，$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴∠EAD=∠ACE=∠ACB．
又四邊形 ABCD 內(nèi)接于 圓O，
∴∠ADE=∠B，
∴△AED∽△CAB，
∴∠AED=∠CAB=90°；
（2）∵AD=2$\sqrt{5}$，ED：EA=1：2，∠AED=90°，
∴ED=2，EA=4．
又由題意知AB=AD=2$\sqrt{5}$，△EAD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{ED}{AB}$，
∴BC=10，∴圓O 的半徑為5．
（3）過 D作 DF⊥AC 于 F．根據(jù)（2）可求AC=4$\sqrt{5}$，
在△AEC中，可求得 CE=8，∴CD=6．
由題意知△CDF∽△CBA，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{CB}$，
∴DF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAC=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．