Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．

（Ⅰ）求三棱錐P-ABD的體積．
（Ⅱ）在∠ACB的平分線所在直線上確定一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時(shí)PQ的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中的三視圖，得到棱錐的底面邊長和高，代入棱錐體積公式，可得答案；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，利用線面平行的判定可知點(diǎn)Q即為所求，證明ACBQ為平行四邊形，即可求出PQ的長

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：
三棱錐P-ABD的底面ABC中，AC=BC=4，AC⊥BC，
高PA=4，
故三棱錐P-ABD體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{32}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）解：如圖取AB的中點(diǎn)O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點(diǎn)Q即為所求．   …（7分）

因?yàn)镺為CQ中點(diǎn)，所以PQ∥OD，…（8分）
因?yàn)镻Q?平面ABD，OD?平面ABD，所以PQ∥平面ABD…（10分）
連接AQ，BQ，四邊形ACBQ的對(duì)角線互相平分，
所以ACBQ為平行四邊形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ=$\sqrt{{AP}^{2}+{AQ}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．   …13 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，空間直線與平面的位置關(guān)系，棱錐的幾何特征，難度中檔．