Question

如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，且滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，求證：cotθ=cotA+cotB+cotC

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：如圖所示，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，利用余弦定理列出三個關(guān)系式，相加整理表示出cosθ，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，整理表示出sinθ，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系表示出cotθ，由余弦定理表示出cosA，利用三角形面積公式表示出sinA，進(jìn)而表示出cotA，同理表示出cotB與cotC，代入cotA+cotB+cotC中，整理即可得證．

解答： 證明：如圖所示，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，
在△ABP中根據(jù)余弦定理有：2cxcosθ=x²+c²-y²①，
同理得到2aycosθ=y²+a²-z²②；2bzcosθ=z²+b²-x²③，
①+②+③得：2（cx+ay+bz）cosθ=a²+b²+c²，
整理得：cosθ=

a2+b2+c2

2(cx+ay+bz)

，
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=

1

2

cxsinθ+

1

2

aysinθ+

1

2

bzsinθ=

1

2

（cx+ay+bz）sinθ，
∴sinθ=

2S△ABC

cx+ay+bz

，
∴cotθ=

cosθ

sinθ

=

a2+b2+c2

4S△ABC

，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，根據(jù)面積公式得：sinA=

2S△ABC

bc

，
∴cotA=

cosA

sinA

=

b2+c2-a2

4S△ABC

，
同理可得cotB=

a2+c2-b2

4S△ABC

，cotC=

a2+b2-c2

4S△ABC

，
則cotA+cotB+cotC=

b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2

4S△ABC

=

a2+b2+c2

4S△ABC

=cotθ．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．