Question

（2012•青浦區(qū)一模）如圖：三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且PB與底面ABC所成的角為

π

3

．若M是BC的中點(diǎn)，求：
（1）三棱錐P-ABC的體積；
（2）異面直線PM與AC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）欲求三棱錐P-ABC的體積，只需求出底面積和高即可，因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以底面積可用

1

2

a2 ×

3

2

來計(jì)算，其中a是正三角形的邊長(zhǎng)，又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以三棱錐的高就是PA長(zhǎng)，再代入三棱錐的體積公式即可．
（2）欲求異面直線所成角，只需平移兩條異面直線中的一條，是它們成為相交直線即可，由M為BC中點(diǎn)，可借助三角形的中位線平行于第三邊的性質(zhì)，做出△ABC的中位線，就可平移BC，把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角，再放入△PMN中，求出角即可．

解答：解：（1）因?yàn)镻A⊥底面ABC，PB與底面ABC所成的角為

π

3

所以 ∠PBA=

π

3

  因?yàn)锳B=2，所以PA=2

3

VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

•

3

4

•4•2

3

=2
（2）連接PM，取AB的中點(diǎn)，記為N，連接MN，則MN∥AC
所以∠PMN為異面直線PM與AC所成的角          
計(jì)算可得：PN=

13

，MN=1，PM=

15

cos∠PMN=

1+15-13

2 15

=

15

10

異面直線PM與AC所成的角為arccos

15

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在幾何體中求異面直線角的能力．解題關(guān)鍵再與找平行線，本題主要通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．