Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對稱，它的周期是π，則以下結(jié)論正確的個數(shù)（　�。�
（1）f（x）的圖象過點（0，

1

2

）  
（2）f（x）的一個對稱中心是（

5π

12

，0）
（3）f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上是減函數(shù)
（4）將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由函數(shù)的周期求出ω，再由圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對稱結(jié)合φ的范圍求得φ，則函數(shù)解析式可求．
①求得f（0）=

3

2

說明命題①錯誤；
②由f（

5π

12

）=0說明命題②正確；
③求出原函數(shù)的減區(qū)間，由[

π

12

，

2π

3

]是一個減區(qū)間的子集說明命題③正確；
④通y=Asin（ωx+φ）圖象的平移說明命題④錯誤．

解答： 解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的周期是π，
∴ω=2，
又圖象關(guān)于直線x=

2π

3

對稱，則2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，即φ=kπ-

5π

6

，k∈Z．
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴取k=1得φ=

π

6

．
∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
①∵f（0）=3sin

π

6

=

3

2

．
∴f（x）的圖象過點（0，

1

2

）錯誤； 
②∵f（

5π

12

）=3sin（2×

5π

12

+

π

6

）=3sinπ=0．
∴f（x）的一個對稱中心是（

5π

12

，0）正確；
③由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
取k=0，得

π

6

≤x≤

2π

3

．
∵[

π

12

，

2π

3

]⊆[

π

6

，

2π

3

]，
∴f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上是減函數(shù)正確；
④∵φ=

π

6

＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+

φ

ω

）是把y=3sinωx
向左平移

φ

ω

個單位得到，
則f（x）的圖象向右平移

φ

ω

個單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．
∴命題④錯誤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，是中檔題．