如圖，在四面體PABC中，點D，E，F(xiàn)，分別是棱AP，AC，BC的中點．
（1）若G為PB的中點，且PC⊥AB，求證：四邊形DEFG為矩形；
（2）過D，E，F(xiàn)的平面與PB交于G，試確定四邊形DEFG的形狀？并說明理由？
分析：（1）運用三角形的中位線平行于底邊及平行公理得到四邊形DEFG為平行四邊形，再根據(jù)PC⊥AB得到四邊形的一個內(nèi)角為直角；
（2）由線面平行的判定得到PC和AB都與平面DEF平行，再由線面平行的性質(zhì)定理及平行公理得到四邊形的兩組對邊平行．
解答：（1）證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四邊形DEFG為平行四邊形．
又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形．

（2）四邊形DEFG為平行四邊形．
證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE∥PC
∵DE?平面BPC，PC?平面BPC，∴DE∥平面BPC
∵DE?平面DEFG，且平面APC∩平面BPC=FG，
∴DE∥FG，同理EF∥DG，
所以四邊形為平行四邊形．
點評：本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，此題是基礎(chǔ)題．
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（2012•廣州一模）如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=
2
，求四面體PABC的體積．

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如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．

(1)求證：D、E、F、G四點共面；

(2)求證：PC⊥AB；

(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

 

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如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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