Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若

a

與

b

的夾角為60°，則直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置關(guān)系是（　　）

A．相交但不過圓心

B．相交且過圓心

C．相切

D．相離

Answer 1

分析：由已知利用向量的數(shù)量積的定義可求得cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，要判斷直線xcosα-ysinα+1=0與圓的位置關(guān)系，只要判斷圓心（cosβ，-sinβ）到直線xcosα-ysinα+1=0的距離d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|與圓的半徑的比較即可

解答：解：由題意可得|

a

|=2，|

b

|=3，

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=2×3×

1

2

=3
又

a

•

b

=(2cosα，2sinα)•(3cosβ，3sinβ)=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，
圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的圓心坐標為（cosβ，-sinβ），半徑為1；
∵圓心（cosβ，-sinβ）到直線2xcosα-2ysinα+1=0的距離
d=

|2cosαcosβ+2sinαsinβ+1|

(2cosα)2+(-2sinβ)2

=

1+1

2

=1；
∴直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1相切，
故選C．

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及坐標表示，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，綜合應(yīng)用向量，點到直線的距離公式等知識．