Question

已知向量

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)

m

∥

n

且α∈(-

π

2

，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求

1+sin2α+cos2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量平行的性質(zhì)求得sinα和cosα的關(guān)系式，平方后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式求得sin2α，進(jìn)而利用配方法求得（sinα-cosα）²的值，根據(jù)α的范圍確定sinα-cosα的正負(fù)，答案可得．
（2）利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)原式化簡(jiǎn)整理求得結(jié)果為1+cos2α，根據(jù)sinα+cosα和sinα-cosα的值，利用二倍角公式求得cos2α的值，代入原式求得答案．

解答：解：（1）∵

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)且

m

∥

n

∴cosα-

2

3

+sinα=0
即sinα+cosα=

2

3

?sin2α=-

7

9

?(sinα-cosα)2=1-sin2α=

16

9

又∵α∈（-

π

2

，0），∴sinα＜0，cosα＞0
∴sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

（2）∵

1+sin2α+cos2α

1+tanα

=

2cos2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2cosα(cosα+sinα)

1 cosα (cosα+sinα)

=2cos²α=1+cos2α
又∵sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

∴cos2α=-(sin2α-cos2α)=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)=

4 2

9

∴原式=1+

4 2

9

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和公式和二倍角公式的化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．解題過(guò)程中一定要注意根據(jù)角的范圍對(duì)三角函數(shù)的正負(fù)進(jìn)行判定．