【題目】某食品廠定期購(gòu)買面粉.已知該廠每天需用面粉6t,每噸面粉的價(jià)格為1800元,面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購(gòu)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.
(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?
(2)若提供面粉的公司規(guī)定:當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210t時(shí),其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%),問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)該廠應(yīng)每x天購(gòu)買一次面粉,其購(gòu)買量為6xt,由題意知,面粉的保管等其他費(fèi)用為3[6x+6(x﹣1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1).

設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元,則y1= [9x(x+1)+900]+6×1800

= +9x+10809≥2 +10809

=10989.

當(dāng)且僅當(dāng)9x= ,即x=10時(shí)取等號(hào),

即該廠應(yīng)每10天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少


(2)解:若廠家利用此優(yōu)惠條件,則至少每隔35天,購(gòu)買一次面粉,平均每天支付的總費(fèi)用為y2元,則

y2= [9x(x+1)+900]+6×1800×0.90

= +9x+9729(x≥35).

令f(x)=x+ (x≥35),

x2>x1≥35,則

f(x1)﹣f(x2)=(x1+ )﹣(x2+

=

∵x2>x1≥35,

∴x2﹣x1>0,x1x2>0,100﹣x1x2<0.

∴f(x1)﹣f(x2)<0,f(x1)<f(x2),

即f(x)=x+ ,當(dāng)x≥35時(shí)為增函數(shù).

∴當(dāng)x=35時(shí),f(x)有最小值,此時(shí)y2<10989.∴該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件


【解析】(1)每天所支付的費(fèi)用是每x天購(gòu)買粉的費(fèi)用與保存面粉的費(fèi)用及每次支付運(yùn)費(fèi)和的平均數(shù),故可以設(shè)x天購(gòu)買一次面粉,將平均數(shù)表示成x的函數(shù),根據(jù)所得的函數(shù)的具體形式求其最小值即可.(2)每天費(fèi)用計(jì)算的方式與(1)相同,故設(shè)隔x天購(gòu)買一次面粉,將每天的費(fèi)用表示成x的函數(shù),由于此時(shí)等號(hào)成立的條件不具備,故本題最值需要通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)探究.本題中函數(shù)的單調(diào)性的證明用定義法證明,獲知其單調(diào)性后利用單調(diào)性求出最小值,然后用函數(shù)的最小值與(1)中的最小值對(duì)比,若比其小,則可利用此優(yōu)惠條件,否則仍采用原來(lái)方案.

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4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989
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