己知橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F(1,0),點A(2,0)在橢圓C上,斜率為1的直線與橢圓C交于不同兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線過點F(1,0),求線段的長;
(3)若直線過點(m,0),且以為直徑的圓恰過原點,求直線的方程.
(1)橢圓C的方程;(2)線段的長為;(3)直線的方程為 .
解析試題分析:(1)根據(jù)橢圓的右焦點為F(1,0),點A(2,0)在橢圓C上,代入即可求得橢圓C的方程;(2)先用點斜式寫出直線方程,再和橢圓方程聯(lián)立,用弦長公式即可求出線段的長為;(3)設(shè)直線的方程為,直線與橢圓的兩個交點設(shè)為,,把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,表示出,而以線段為直徑的圓恰好過原點,即;聯(lián)立即可求出直線的方程為 .
試題解析:(1)由題意:,,,
所求橢圓方程為. 4分
(2)由題意,直線的方程為:.
由得,
所以. 6分
(3)設(shè)直線的方程為,
由消去y整理得.
因為直線l與橢圓C交于不同兩點M、N,
所以
解得:
設(shè),,
則,,
所以,
因為以線段為直徑的圓恰好過原點,所以,
所以,即
解得,.
所求直線的方程為 10分
考點:直線與圓錐曲線綜合問題、方程思想的應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量+與共線?如果存在,求k的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓C:+y2=1,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的兩個頂點.
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點,若=m+n,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩上動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓M:=1(a>)的右焦點為F1,直線l:x=與x軸交于點A,若1=2 (其中O為坐標(biāo)原點).
(1)求橢圓M的方程;
(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點,EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E,F為直徑的兩個端點),求·的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,離心率為,它的一個頂點為拋物線x2=4y的焦點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線y=x-1與拋物線相切于點A,求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程;
(3)若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點,求△OMN面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點. 過它的兩個焦點,分別作直線與,交橢圓于A、B兩點,交橢圓于C、D兩點,且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求四邊形的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知△的兩個頂點的坐標(biāo)分別是,,且所在直線的斜率之積等于.
(1)求頂點的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(2)當(dāng)時,過點的直線交曲線于兩點,設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為(不重合), 試問:直線與軸的交點是否是定點?若是,求出定點,若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(1)已知點和,過點的直線與過點的直線相交于點,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長線相交于點,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點,過F1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求|AB|;
(2)若直線l的斜率為1,求b的值.
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