Question

【題目】已知兩點(diǎn)A(－，0)，B(，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的投影是Q，且.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過(guò)F(1，0)作互相垂直的兩條直線(xiàn)交軌跡C于點(diǎn)G，H，M，N，且E1，E2分別是GH，MN的中點(diǎn).求證：直線(xiàn)E1E2恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算可得軌跡C的方程．（2）分兩種情況考慮，當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率都存在且不為0時(shí)，分別設(shè)出兩直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程組求得、的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到直線(xiàn)的方程，再討論直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)為；當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率分別為0和不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為y＝0，也過(guò)點(diǎn)，從而可得結(jié)論成立．

試題解析：

(1)解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0，y).

∵2·＝||2，

∴2[(－－x)(－x)＋y2]＝x2，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.

(2)證明：①當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率都存在且不為0時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為y＝k(x－1)，則直線(xiàn)的方程為y＝ (x－1)．

由消去y整理得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

則Δ>0恒成立.

設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，

則x1＋x2＝，且x1x2＝.

∴GH中點(diǎn)E1坐標(biāo)為，

同理，MN中點(diǎn)E2坐標(biāo)為，

∴，

∴直線(xiàn)的方程為，

整理得y＝，

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

②當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率分別為0和不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為y＝0，也過(guò)點(diǎn)．

綜上所述直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．