Question

（2011•普寧市模擬）東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80元．從今年起，工廠投入100萬元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本．預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g（n）與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g（n）=

80

n+1

．若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤為f（n）萬元．
（1）求出f（n）的表達(dá)式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意可得：第n次投入后，產(chǎn)量為10+n萬件，價(jià)格為100元，固定成本為

80

n+1

元，科技成本投入為100n，進(jìn)而可求年利潤為f（n）
（2）將函數(shù)整理成f(n)=1000-80(

n+1

+

9

n+1

)，進(jìn)而可以利用基本不等式，求出最高利潤．

解答：解：（1）第n次投入后，產(chǎn)量為10+n萬件，價(jià)格為100元，固定成本為

80

n+1

元，
科技成本投入為100n，…（2分）
所以，年利潤為f(n)=(10+n)(100-

80

n+1

)-100n…（6分）
（2）．由（1）f(n)=(10+n)(100-

80

n+1

)-100n
=1000-80(

n+1

+

9

n+1

)≤520（萬元）  …（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)

n+1

=

9

n+1

時(shí)
即n=8 時(shí)，利潤最高，最高利潤為520萬元．…（11分）
答：從今年算起第8年利潤最高，最高利潤為520萬元．  …（12分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是函數(shù)模型的構(gòu)建．