Question

14．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$，
（1）當$a=-\frac{5}{3}，D=[-1，3]$時，求函數(shù)f（x）在D上的上界的最小值；
（2）記函數(shù)g（x）=f′（x），若函數(shù)$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]$在區(qū)間D=[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出M的值；
（2）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}≤a≤\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$在區(qū)間t∈（0，1]上恒成立．  記 $p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}，q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$，$a=-\frac{5}{3}，D=[-1，3]$，
得${f^/}（x）={x^2}-\frac{10}{3}x+1=0$，…（1分）
得x=3或$\frac{1}{3}$，…（2分）
故可得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-1，\frac{1}{3}]$上單調(diào)遞增，區(qū)間$[\frac{1}{3}，3]$是單調(diào)遞減．   …（3分）
因為$f（-1）=-2，f（\frac{1}{3}）=\frac{94}{81}，f（3）=-2$，
所以$-2≤f（x）≤\frac{94}{81}$，…5分|f（x）|≤2，故有上界M≥2，即上界的最小值是2．…（7分）
（2）因為g（x）=x²+2ax+1，…（8分）
故有函數(shù)$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]={[{（\frac{1}{2}）^x}]^2}+2a{（\frac{1}{2}）^x}+1$，
令${（\frac{1}{2}）^x}=t$，因為x∈[0，+∞），得t∈（0，1]．
因為函數(shù)$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]$在區(qū)間x∈[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，
得|g（t）|≤3在區(qū)間t∈（0，1]上恒成立，
即-3≤t²+2at+1≤3，…（11分）
得$-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}≤a≤\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$在區(qū)間t∈（0，1]上恒成立．  …（12分）
記 $p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}，q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$，
當t∈（0，1]時，$p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}$單調(diào)遞增，
所以$p{（t）_{max}}=-\frac{5}{2}$；$q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$單調(diào)遞減，$q{（t）_{min}}=\frac{1}{2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是$-\frac{5}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．       …（15分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．