【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.

（1）證明：∵，∴.

∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，令，，

則在上單調(diào)遞減，，故.

令，則

所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴.

由（*）式得.

∴，顯然是方程的解.

又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求實(shí)數(shù)的值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（3）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)F的距離為4．

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)方程；

（Ⅱ）點(diǎn)P為準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，AB為拋物線(xiàn)上過(guò)焦點(diǎn)的任意一條弦，設(shè)直線(xiàn)PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，請(qǐng)求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線(xiàn)上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線(xiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線(xiàn)上到直線(xiàn)的距離最短的點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是．

（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線(xiàn)距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且

（1）求的取值范圍；

（2）證明：隨著的增大而減小；

（3）證明：隨著的增大而減小.

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