Question

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點。

（I）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M-BC'-B′的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）連結AC，取AC的中點K，則K為BD的中點，連結OK 因為點M是棱AA'的中點，點O是BD'的中點 所以 所以 由AA'⊥AK，得MO⊥AA′ 因為AK⊥BD，AK⊥BB′ 所以AK⊥平面BDD'B' 所以AK⊥BD' 所以MO⊥BD' 又因為OM與異面直線AA'和BD'都相交，故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線； （Ⅱ）取BB'的中點N，連結MN，則MN⊥平面BCC'B' 過點N作NH⊥BC'于H，連結MH，則由三垂線定理得，BC′⊥MH 從而，∠MHN為二面角M-BC'-B'的平面角 設AB=1，則MN=1，NH=BNsin45°= 在Rt△MNH中，tan∠MHN= 故二面角M-BC′-B′的大小為。