Question

19．已知a＞0，則“關(guān)于x的方程ax=b解集為{x₀}”的充要條件的序號(hào)是③．
①存在x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
②存在x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
③任意x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
④任意x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀．

Answer 1

分析 a＞0，則“關(guān)于x的方程ax=b解集為{x₀}”，可得x₀=$\frac{a}$．對(duì)于任意x∈R，作差$\frac{1}{2}$ax²-bx-（$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀）=$\frac{a}{2}$$（x-\frac{a}）^{2}$，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：a＞0，則“關(guān)于x的方程ax=b解集為{x₀}”，可得x₀=$\frac{a}$．
對(duì)于任意x∈R，則$\frac{1}{2}$ax²-bx-（$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀）=$\frac{a}{2}$$（x-\frac{a}）^{2}$≥0，即$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀，
∴a＞0，則“關(guān)于x的方程ax=b解集為{x₀}”的充要條件的序號(hào)是③．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、充要條件的判定方法、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．