Question

（2009四川卷理）（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .   

   =

 又

當(dāng)

當(dāng)

                    

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)

則

    

    

     >

對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立

只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。

另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有

事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有

          

         

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)

則

     <     

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)

則 .   

<

對(duì)一切的正整數(shù)n，都有

綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4………………………….14分