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Z=
(x-y)2+(
2
x
+
y
2
)2
（x≠0）的最小值為
 
．
考點：函數的最值及其幾何意義
專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用
分析：令a=
1
2
、b=1代入柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，再用基本不等式可得答案．
解答： 解：令a=
1
2
、b=1、x取x-y、y取
2
x
+
y
2
代入柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，
（
1
4
+1）（（x-y）2+（
2
x
+
y
2
）2）≥[
1
2
(x-y)+(
2
x
+
y
2
)]2=（
2
x
+
x
2
）2，
∵當x＞0時，由基本不等式知
2
x
+
x
2
≥2，故x＜0時，
2
x
+
x
2
≤-2，
∴（
2
x
+
x
2
）2≥4
∴（
1
4
+1）[（x-y）2+（
2
x
+
y
2
）2]≥[
1
2
(x-y)+(
2
x
+
y
2
)]2=（
2
x
+
x
2
）2≥4，
∴[（x-y）2+（
2
x
+
y
2
）2]≥
16
5
，
∴Z=
(x-y)2+(
2
x
+
y
2
)2
≥
16
5
=
4
5
5
，Z的最小值為
4
5
5
，
故答案為：
4
5
5
點評：本題主要考查柯西不等式的應用，柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2中a、b、x、y各取何值是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1，點A（0，-1），B（0，1），設P點是圓C上的動點，d=|PA|2+|PB|2，求d的最大、最小值及對應的P點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sin（x+
π
4
），3cos（x+
π
4
））與
b
=（1，1）且滿足
a
∥
b
，其中x∈（0，
π
2
）．
（1）求sinx的值；
（2）若θ∈（0，
π
2
），cos（x+θ）=
3
5
，求cosθ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
x
1+x2
是定義在（-1，1）上的函數，解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列四個命題：
（1）“若a＞b，則ac2＞bc2”的否命題；
（2）“若xy=0，則|x|+|y|=0”的逆否命題；
（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞
1
2
”的充分不必要條件；
（4）“數列{an}的前n項和是Sn=An2+Bn”是“數列{an}是等差數列”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
（真命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=1+
2
sin（2x-
π
4
）．
（1）求函數的最小正周期和最大值；
（2）求函數的增區(qū)間，并求出當x∈[-
π
4
，
π
2
]時，函數f（x）的值域；
（3）函數的圖象可以由函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線方程為y2=8x，直線l過定點P（-3，1），斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線只有一個公共點，并寫出相應直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知2sinα+cosα=0 求
2
3
sin2α+
1
4
cos2α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知命題p：
x2
m+3
+
y2
7m-3
=1表示焦點在x軸的雙曲線，命題q：f（x）=（5-2m）x是增函數，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數m的取值范圍．

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