【題目】已知集合A=a1 , a2 , a3 , …,an , 其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個數(shù).
(Ⅰ)設集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分別求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n , 求證: ;
(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由?
【答案】解:(Ⅰ)根據(jù)題中的定義可知:由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得l(P)=5.
由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得l(Q)=6.
(Ⅱ)證明:因為ai+aj(1≤i<j≤n)最多有 個值,所以 .
又集合A=2,4,8,,2n , 任取ai+aj , ak+al(1≤i<j≤n,1≤k<l≤n),
當j≠l時,不妨設j<l,則ai+aj<2aj=2j+1≤al<ak+al ,
即ai+aj≠ak+al . 當j=l,i≠k時,ai+aj≠ak+al .
因此,當且僅當i=k,j=l時,ai+aj=ak+al .
即所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值兩兩不同,
所以 .
(Ⅲ)l(A)存在最小值,且最小值為2n﹣3.
不妨設a1<a2<a3<…<an , 可得a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an﹣1+an ,
所以ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n﹣3個不同的數(shù),即l(A)≥2n﹣3.
事實上,設a1 , a2 , a3 , ,an成等差數(shù)列,
考慮ai+aj(1≤i<j≤n),根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),
當i+j≤n時,ai+aj=a1+ai+j﹣1;
當i+j>n時,ai+aj=ai+j﹣n+an;
因此每個和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一個,
或者等于al+an(2≤l≤n﹣1)中的一個.
所以對這樣的A,l(A)=2n﹣3,所以l(A)的最小值為2n﹣3
【解析】(Ⅰ)直接利用定義把集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16中的值代入即可求出l(P)和l(Q);(Ⅱ)先由ai+aj(1≤i<j≤n)最多有 個值,可得 ;再利用定義推得所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值兩兩不同,即可證明結(jié)論.(Ⅲ)l(A)存在最小值,設a1<a2<<an , 所以a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an﹣1+an . 由此即可證明l(A)的最小值2n﹣3.
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【題目】一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上數(shù)字是1,3張卡片上數(shù)字是2,2張卡片上數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上數(shù)字完全相同的概率;
(2)已知取出的一張卡片上數(shù)字是1,求3張卡片上數(shù)字之和為5的概率.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,θ∈[0,2π).
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)在曲線C上求一點D,使它到直線l:的距離最短,并求出點D的直角坐標.
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【題目】數(shù)列滿足遞推式
(1)求a1,a2,a3;
(2)若存在一個實數(shù),使得為等差數(shù)列,求值;
(3)求數(shù)列{}的前n項之和.
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【題目】設函數(shù)f(x)=1-x2+ln(x+1).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式f(x)>-x2(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,設AC與BD相交于點O,若∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(1)求證:FC∥平面EAD;
(2)求二面角A-FC-B的余弦值.
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【題目】已知曲線
(1)若,過點的直線交曲線于兩點,且,求直線的方程;
(2)若曲線表示圓時,已知圓與圓交于兩點,若弦所在的直線方程為, 為圓的直徑,且圓過原點,求實數(shù)的值.
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【題目】函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,則函數(shù)y=ax2+ bx+ 的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(﹣∞,2]
B. ,+∞)
C.[﹣2,3]
D. ,+∞)
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:ρ=4cosθ.
(1)把直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程,把曲線C的極坐標方程化為普通方程;
(2)求直線l與曲線C交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π).
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