Question

一船由甲地逆水勻速行駛到乙地，甲乙兩地相距s(千米)，水速為常量p(千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q(千米/小時(shí))，且p＜q.已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(元)與船在靜水中速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k.

（1）把全程燃料費(fèi)用y(元)表示為靜水中的速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)，并指出其定義域.

（2）為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：由題意，全程燃料費(fèi)由每小時(shí)的費(fèi)用及航程時(shí)間來(lái)決定，所以應(yīng)先找出每小時(shí)的燃料費(fèi)用及全程航行時(shí)間，而第（2）問(wèn)是求最值問(wèn)題.是否需用基本不等式，要注意適用的條件，尤其是第（1）問(wèn)的定義域，水速應(yīng)小于船的最小速度，所以定義域應(yīng)是（p,q］.因此，本題若基本不等式的“=”號(hào)能滿足即可求得結(jié)果，但也存在不能使“=”號(hào)成立的情況，因而，也需用函數(shù)的單調(diào)性求解. 解：（1）由于船每小時(shí)航行的燃料費(fèi)用是kv2，全程航行時(shí)間為，于是全程燃料費(fèi)用y=kv2·, 故所求函數(shù)是y=ks·(p＜v≤q),定義域是（p,q］. （2）y=ks·=ks［(v+p)+］ =ks［v-p++2p］≥ks［+2p］=4ksp. 其中取“=”的充要條件是 v-p=,即v=2p. ①當(dāng)v=2p∈(p,q］, 即2p≤q時(shí)，ymin=f(2p)=4ksp. ②當(dāng)2p 提示：