Question

（本小題滿分12分）

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）V＝．（Ⅱ）見解析。

【解析】(I)根據棱錐的體積公式關鍵是求出底面積和高，在求底面積時，可以根據來求.

（II）易證PA=AC，從而確定AF垂直PC，所以解決此問題的關鍵是證PC垂直EF.因為EF//CD，可以證：PC垂直CD即可.

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 11分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 12分