【題目】四棱錐中,底面為矩形,,的中點.

(1)證明:;

(2)設(shè),三棱錐的體積,求二面角DAEC的大小

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

試題(1)可先連結(jié)BDAC于點O,連結(jié)EO,根據(jù)中位線性質(zhì)可證明EO//P,從而可得結(jié)論;(2)由三棱錐的體積,可得,A為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A—xyz, 分別求出平面DAE與平面ACE的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.

試題解析:(1)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO

因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點

又E為的PD的中點,所以EO//PB

EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC

(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖,以A為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,

三棱錐的體積,

則A(0, 0 ,0), D(0, ,0),B(,0,0),E(0, ,),C (, ,0),

=(0, ,), =(, ,0),設(shè)為平面ACE的法向量,

,得,,則

為平面DAE的法向量,

如圖可得二面角為銳角,所以二面角

【方法點晴】

本題主要考查線面平行以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為.如果,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立.

(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;

(2)已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(2)求證:對于任意的正整數(shù),不等式恒成立.

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【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖(如圖),若上學(xué)路上所需時間的范圍為,樣本數(shù)據(jù)分組為,,,.

1)求直方圖中a的值;

2)如果上學(xué)路上所需時間不少于40分鐘的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿,若招收學(xué)生1200人,請估計所招學(xué)生中有多少人可以申請住宿;

3)求該校學(xué)生上學(xué)路上所需的平均時間.

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【題目】對于定義域為的函數(shù),若同時滿足下列條件:

內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;

②存在區(qū)間,使上的值域為

那么把叫閉函數(shù).

(1)求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;

(2)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說明理由;

(3)是閉函數(shù),求實數(shù)的范圍.

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