Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90^o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E為PD的中點(diǎn)．

(1) 求證：CE∥平面PAB；
(2) 求PA與平面ACE所成角的大小；
(3) 求二面角E－AC－D的大小．

Answer 1

(1) 取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)FE、FB，則FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四邊形，∴CE∥BF，而BFÌ平面PAB，∴CE∥平面PAB．(2) arcsin(3) arccos

試題分析：（1）證明：取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)FE、FB，則
FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四邊形，
∴CE∥BF，而BFÌ平面PAB，∴CE∥平面PAB．
(2) 解：取 AD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，則EG∥AP，問題轉(zhuǎn)為求EG與平面ACE所成角的大小.又設(shè)點(diǎn)G到平面ACE的距離為GH，H為垂足，連結(jié)EH，則∠GEH為直線EG與平面ACE所成的角．現(xiàn)用等體積法來求GH．
∵V_E－AGC＝S_△AGC·EG＝
又AE＝，AC＝CE＝，易求得S_△AEC＝，
∴V_G－AEC＝´´GH＝V_E－AGC＝，∴GH＝
在Rt△EHG中，sin∠GEH＝＝，即PA與平面ACE所成的角為arcsin．
(3) 設(shè)二面角E－AC－D的大小為a．
由面積射影定理得cosa＝＝，∴a＝arccos，即二面角E－AC－D的大小為arccos．
點(diǎn)評：本題還可利用空間向量求解，利用AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，根據(jù)線段長度寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，帶入相應(yīng)的公式計(jì)算求角