Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）若f（0）≥2，求a的取值范圍；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x=0代入得：f（0）=|a|+1≥2，即|a|≥1，解得a的取值范圍；
（2）分當(dāng)x≤a時(shí)和當(dāng)x＞a時(shí)兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論f（x）的最小值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+|x-a|+1，
∴f（0）=|-a|+1=|a|+1≥2，
即|a|≥1，
解得a∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
即a的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，+∞），
（2）解：當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
∵a≤

1

2

，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
當(dāng)x＞a時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
∵a≥-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上所述，當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，f（x）的最小值為a²+1．

點(diǎn)評(píng)：題考查了學(xué)生分類討論的思想，還考查了絕對(duì)值函數(shù)的對(duì)絕對(duì)值的討論及二次函數(shù)在定義域下求最值．