Question

對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則實數(shù)m的取值范圍是

(0，

1

4

)

；x₁+x₂+x₃的取值范圍是

(

5- 3

4

，1)

．

Answer 1

分析：由已知新定義，我們可以求出函數(shù)的解析式，進而分析出函數(shù)的兩個極值點，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍，及三個實根之間的關(guān)系，進而求出x₁+x₂+x₃的取值范圍

解答：解：∵a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x≤0 -x2+x，x＞0

，
則當x=0時，函數(shù)取得極小值0，當x=

1

2

時，函數(shù)取得極大值

1

4

故關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃時，
實數(shù)m的取值范圍是(0，

1

4

)
令f（x）=

1

4

，則x=

1- 3

4

，或x=

1

2

不妨令x₁＜x₂＜x₃時
則

1- 3

4

＜x₁＜0，x₂+x₃=1
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是(

5- 3

4

，1)
故答案為：(0，

1

4

)，(

5- 3

4

，1)

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)圖象形狀及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．