Question

【題目】已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于、兩點(diǎn)，且，如圖1.

（1）求圓的方程；

（2）如圖1，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求證：射線平分；

（3）如圖2所示，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且第三象限的動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問：四邊形的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件設(shè)出圓心坐標(biāo),半徑為圓心縱坐標(biāo),利用弦長公式,可求出圓的方程;

（2）先求出點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,即可求得,命題得證;

（3）設(shè),求出直線、直線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo),然后四邊形的面積用點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)表示,計(jì)算可得定值.

（1）依題意,設(shè)圓心，

，解得

所求的方程為;

（2）代入圓方程，得或

若過點(diǎn)的直線斜率不存在,此時(shí)在軸上,

,射線平分,

若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)其方程為

聯(lián)立，消去得,

設(shè),,

,

,

射線平分,

（3）設(shè),

直線方程為,令

得，即,

直線方程為,令

得，即,,

,

四邊形的面積為定值.