Question

16．傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l過拋物線y²=ax（a＞0）的焦點F，且與拋物線交于點A、B，l交拋物線的準線于點C（B在A、C之間），若$|{BC}|=\frac{8}{3}$，則a=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得焦點即準線方程．根據三角形的相似關系，求得2丨EF丨=丨CF丨，根據拋物線的定義，即可求得a的值．

解答 解：過A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分別為D和G，準線l交x軸于E，
由拋物線的焦點（$\frac{a}{4}$，0），準線方程x=-$\frac{a}{4}$，
則丨EF丨=$\frac{a}{2}$，且丨BG丨=丨BF丨，
由∠AFx=$\frac{π}{3}$，則∠FCD=$\frac{π}{6}$，
sin∠FCD=$\frac{丨BG丨}{丨BC丨}$=$\frac{丨EF丨}{丨CF丨}$=$\frac{1}{2}$，
$|{BC}|=\frac{8}{3}$，則丨BG丨=$\frac{4}{3}$，
由2丨EF丨=丨CF丨，即2×$\frac{a}{2}$=丨BC丨+丨BF丨=$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{3}$=4，
故a=4，
故選：D．

點評 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，相似三角形的性質，考查計算能力，數形結合思想，屬于中檔題．